Capitolo 3

Questo è la rielaborazione del file Appunticap3.pdf

Limiti e continuità delle funzioni reali di una variabile reale

Per una funzione reale si possono dare 9 definizioni di limite, precisamente studiare il limite di una funzione significa vedere qual è il comportamento della funzione stessa quando la variabile si avvicina (“tende”) ad un certo punto. Le nove definizioni si differenziano l’una dall’altra solo per il diverso significato di “definitivamente”.

Definizioni di limite

Limite al tendere di x a c

Quote

Punto di accumulazione: un numero reale $c$ è detto punti di accumulazione per $X$ se, per ogni $r>0$ nell’intorno $]c-r,c++r[$ ci sono elementi diversi da $c$. L’insieme dei punti di accumulazione di accumulazione si denota con $D(X)$

Data una funzione reale definita in un insieme $X\subseteq R$, se $c\in D(x)$ si definisce il limite di $f$ al tendere di $x$ a $c$ nel seguente modo:

1. Si dice che $f$ converge al numero $l$ al tendere di $x$ a $c$ e si scrive: ${\lim }_{x\to c}f(x)=l\in R$ se $\forall ϵ>0$ $\exists \delta >0:x\in X,x\ne c,|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-l|<ϵ$ ovvero $l-ϵ<f(x)<l+ϵ$
   Spiegazione intuitiva: Dire che il limite di $f(x)$ per $x$ che tende a $c$ è uguale ad $l$ significa che possiamo rendere $f(x)$ arbitrariamente vicino a $l$, scegliendo $x$ sufficientemente vicino a $c$ (ma senza che $x$ debba essere uguale a $c$). In altre parole, per ogni livello di precisione $ϵ$ che vogliamo raggiungere, esiste un intervallo attorno a $c$ (di ampiezza $\delta$) tale che, se $x$ si trova all’interno di questo intervallo (escluso il punto $c$), allora $f(x)$ sarà compreso nell’intervallo $(l-ϵ,l+ϵ)$.

2. Si dice che $f$ diverge a $+\infty$ al tendere di $x$ a $c$ e si scrive $li{m}_{x\to c}f(x)=+\infty$ se $\forall k>0\exists \delta >0x\in X,x\ne c,|x-c|<\delta \Rightarrow f(x)>k$ Spiegazione intuitiva: Dire che $f(x)$ tende a infinito quando $x$ si avvicina a $c$ significa che il valore di $f(x)$ può diventare arbitrariamente grande, cioè maggiore di qualunque soglia positiva. Per ogni $k>0$, esiste un $\delta$ tale che, se $x\ne c$ e $|x-c|<\delta$, allora $f(x)>k$.

3. Si dice che $f$ diverge a $-\infty$ al tendere di $x$ a $c$ e si scrive $li{m}_{x\to c}f(x)=-\infty$ se $\forall k>0\exists \delta >0:x\in X,x\ne c,|x-c|<\delta \Rightarrow f(x)<-k$ Spiegazione intuitiva: Quando $x$ si avvicina a $c$, il valore di $f(x)$ diventa arbitrariamente negativo, cioè più piccolo di qualunque soglia negativa (cioè inferiore a $-k$). Per ogni $k>0$, esiste un $\delta$ tale che, se $x\ne c$ e $|x-c|<\delta$, allora $f(x)<-k$.

Come notiamo da queste definizione la condizione di limite deve essere verificata in un opportuno intorno di $c$, se questa cosa accade possiamo dire che la definizione di limite è verificata definitivamente. Se una delle tre condizioni descritte sopra è verificata allora la funzione è detta regolare al tendere di x a c, per questo tipo di limite abbiamo i seguenti teoremi:

• Teorema dell’unicità del limite: Se una funzione è regolare al tendere di $x$ a $c$ il suo limite è unico
• Teorema della permanenza del segno:
  • Se ${\lim }_{x\to c}f(x)=l>0$ esiste un intorno di $c$ in cui si ha $f(x)>0$
  • Se ${\lim }_{x\to c}=l<0$ esiste un intorno di $c$ in cui si ha $f(x)<0$ generalizzando questo risultato, possiamo concludere che se $k>l(k<l)$ i valori della funzione saranno definitivamente minori (risp. maggiori) di $k$
• Teorema di confronto per funzioni convergenti: siano $f,g,h$ tre funzioni definite nello stesso insieme $X$ e sia $c\in D(x)$. Supponiamo che $f(x)\le g(x)\le h(x)$ per ogni $x\in X$ e che al tendere di $x$ a $c$ le due funzioni $f$ ed $h$ abbiano lo stesso limite $l$. Allora anche $g$ tende ad $l$
• Teorema di confronto per funzioni divergenti: siano $f,g$ due funzioni definite nello stesso insieme $X$ e sia $c\in D(x)$, supponiamo che $f(x)\le g(x)$ per ogni $x\in X$, allora:
  • se ${\lim }_{x\to c}f(x)=+\infty$ allora ${\lim }_{x\to c}g(x)=+\infty$
  • se ${\lim }_{x\to c}f(x)=+\infty$ allora ${\lim }_{x\to c}f(x)=-\infty$
• Teorema sul limite di una funzione composta: Siano date due funzioni $f:Y\to R,g:X\to Y$. Sia $c\in D(x)$ e si supponga che ${\lim }_{x\to c}g(x)=\gamma$ e che $\gamma \in D(y)$. Allora, se ${\lim }_{y\to \gamma }f(y)=l$ si ha posto $F(x)=f(g(x))$ che ${\lim }_{x\to c}F(x)=l$
  • Osservazione: Dal teorema 5 segue che, per una funzione composta, occorre prima esaminare il limite della funzione interna (ovvero $\gamma$) e il limite di $F$ sarà quello a cui tende la funzione esterna quando la “sua” variabile tende a $\gamma$
• Teorema ponte: sia data una funzione $f:X\to R$ e sia $c\in D(x)$. Si ha ${\lim }_{x\to c}f(x)=l$ (rispettivamente $+\infty ,-\infty$) se e solo se per ogni successione $\{x_n\}$ di elementi di $X$ convergente a $c$ si ha $f(x_n)\to l$

Limite sinistro e destro

Sia data una funzione $f:(a,b)\to R$, possiamo dire che:

• Per ogni $c\in ]a,b]$ il limite della restrizione di $f$ ovvero $(a,c[$ al tendere di $x$ a $c$ e si chiama limite sinistro di f (e si denota con ${\lim }_{x\to c^{-}}$)
• Per ogni $c\in ]a,b[$ il limite della restrizione di $f$ ovvero $]c,b)$ al tendere di $x$ a $c$ e si chiama limite destro di f (e si denota con ${\lim }_{x\to c^{+}}$) Allora possiamo dire che se $c\in ]a,b[$ ed esiste il ${\lim }_{x\to c}f(x)$ allora il limite destro e sinistro coincidono, vale anche il viceversa ovvero che se ${\lim }_{x\to c^{-}}f(x)={\lim }_{x\to c^{+}}f(x)=l$ allora ${\lim }_{x\to c}f(x)=l$

Limite al tendere di x all’infinito

Data una funzione $f:(a,+\infty [\to R$ si definisce il limite di $f$ al tendere di $x$ a $+\infty$ nel seguente modo:

• $li{m}_{x\to +\infty }f(x)=l\in R\text{ se }\forall ϵ>0$ $\exists \bar{x}>a:x>\bar{x}\Rightarrow |f(x)-l|<ϵ$
• ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$ se $\forall k>0\exists \bar{x}>a:x>\bar{x}\Rightarrow f(x)>k$
• ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$ se $\forall k>0\exists \bar{x}>a:x>\bar{x}\Rightarrow f(x)>k$ In modo simile si definisce per una funzione $f:]-\infty ,a)\to R$ il limite di $f$ in tal caso la convergenza si definisce così:
• $li{m}_{x\to +\infty }f(x)=l\in R\text{ se }\forall ϵ>0$ $\exists \bar{x}>a:x<\bar{x}\Rightarrow |f(x)-l|<ϵ$ Anche in questo caso valgono i teoremi dell’unicità del limite, di confronto, della permanenza del segno e il teorema ponte

TIP

usando il teorema ponte si riescono a costruire tutte le operazioni come fatto nelle successioni

Limiti di funzioni elementari

Vale la seguente proposizione: Se $f:X\to R$ è una funzione elementare, per ogni $c\in X$ si ha ${\lim }_{x\to c}f(x)=f(c)$. di seguito alcuni casi in cui non è vera questa condizione:

1. Funzione esponenziale: Sia $\alpha$ un numero positivo e diverso da 1, consideriamo la funzione $a^x$, per studiare il suo limite dobbiamo considerare 2 casi:
   • $a>1$
     • ${\lim }_{x\to +\infty }{a}^x=+\infty$
     • ${\lim }_{x\to -\infty }{a}^x=0$
   • $0<a<1$
     • $li{m}_{x\to +\infty }{a}^x=0$
     • $li{m}_{x\to -\infty }{a}^x=+\infty$
2. Funzione logaritmo: Sia $\alpha$ un numero positivo e diverso da 1. Consideriamo la funzione ${\log }_{a}x$ per studiare il suo limite dobbiamo considerare 2 casi:
   • $a>1$
     • ${\lim }_{x\to +\infty }{\log }_{a}x=+\infty$
     • ${\lim }_{x\to 0}{\log }_{a}x=-\infty$
   • $0<a<1$
     • ${\lim }_{x\to +\infty }{\log }_{a}x=-\infty$
     • ${\lim }_{x\to 0}{\log }_{a}x=+\infty$
3. Funzione potenza: per questo tipo di funzione dobbiamo distinguere 2 casi $(n\in R)$
   • Funzione con esponente intero positivo\negativo
     • ${\lim }_{x\to +\infty }{x}^n=+\infty$
     • ${\lim }_{x\to -\infty }{x}^n=+\infty$ se $n$ è pari
     • ${\lim }_{x\to -\infty }{x}^n=-\infty$ se $n$ è dispari
     • ${\lim }_{x\to \pm \infty }{x}^{-n}=0$ se $n$ è pari
     • ${\lim }_{x\to 0}{x}^{-n}=+\infty$ se $n$ è pari
     • ${\lim }_{x\to 0^{-}}{x}^{-n}=+\infty$ se $n$ è dispari
     • ${\lim }_{x\to 0^{+}}{x}^{-n}=+\infty$ se $n$ è dispari
     • ${\lim }_{x\to \pm \infty }{x}^{-n}=0$ se $n$ è dispari
   • Funzione con esponente non intero ($\alpha$)
     • $\alpha >0$
       • ${\lim }_{x\to +\infty }{x}^{\alpha }=\infty$
     • $\alpha <0$
       • ${\lim }_{x\to +\infty }{x}^{\alpha }=0$
       • ${\lim }_{x\to 0}{x}^{\alpha }=+\infty$
4. Funzione polinomio: consideriamo il polinomio $f(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_n$. con $x\to \pm \infty$ per determinare il suo limite riscriviamo il polinomio in questo modo: $f(x)=x^n(a_0+\frac{a_1}{x}+\cdots +\frac{a_n}{x^n})$ come dicevamo per le successioni la quantità tra partentesi tende a $a_0$ quindi ne segue che:
   • ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$ se $a_0>0$;
   • ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=-\infty$ se $a_0<0$;
   • ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=+\infty$ se $a_0>0$, $n$ pari;
   • ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$ se $a_0<0$, $n$ pari;
   • ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$ se $a_0>0$, $n$ dispari;
   • ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=+\infty$ se $a_0<0$, $n$ dispari.

TIP

In generale possiamo dire che al tendere di $x\to \infty$ i polinomi divergono sempre, per capire il segno basta fare questa cosa:

• Se $n$ è pari, il segno della divergenza è il segno di $a_0$
• Se $n$ è dispari, il segno della divergenza è il segno opposto a $a_0$

EXAMPLE

• ${\lim }_{x\to +\infty }\left(x^4-2x^3+1\right)=+\infty$
• ${\lim }_{x\to +\infty }\left(x^5-2x^4+1\right)=+\infty$
• ${\lim }_{x\to +\infty }\left(x^4-2x^6+1\right)=-\infty$
• ${\lim }_{x\to +\infty }\left(x^2-2x^3+1\right)=-\infty$
• ${\lim }_{x\to -\infty }\left(x^4-2x^3+1\right)=+\infty$
• ${\lim }_{x\to -\infty }\left(x^5-2x^4+1\right)=-\infty$
• ${\lim }_{x\to -\infty }\left(x^4-2x^6+1\right)=-\infty$
• ${\lim }_{x\to -\infty }\left(x^4-2x^7+1\right)=-\infty$

5. Funzioni razionali fratte: Consideriamo la funzione $f(x)$ definita così: $f(x)=\frac{a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_n}{b_0{x}^m+b_1{x}^{m-1}+\cdots +b_m}$per poter analizzare il limite di questa funzione dobbiamo distinguere vari casi:
   • se n>m al tendere di $x\to \pm \infty$ la funzione diverge e per capire il segno dobbiamo esaminare il segno del numeratore e denominatore e moltiplicarlo per il segno di $\infty$
   • se n = m ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)={\lim }_{x\to -\infty }f(x)=\frac{a_0}{b_0}$
   • se n<m ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)={\lim }_{x\to -\infty }f(x)=0$

EXAMPLE

• ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{(2x-2{)}^3}{4-x^3}=-8$ caso $n=m$
• ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{2-x}{x^3+5}=0$ caso $n<m$
• ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{x^5+2}{x-1}=+\infty$ caso $n>m$

Alcuni limiti notevoli

Limiti notevoli con funzioni trigonometriche

Utilizzando i limiti notevoli studiati per le successioni si ottiene che:

• ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
• ${\lim }_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1$
• ${\lim }_{x\to 0}\frac{\arcsin x}{x}=1$
• ${\lim }_{x\to 0}\frac{\arctan x}{x}=1$
• ${\lim }_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x}=\frac{1}{2}$
• ${\lim }_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x}=0$

Limiti notevoli di tipo esponenziale

• ${\lim }_{x\to \pm \infty }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$
• ${\lim }_{x\to 0}{\left(1+x\right)}^{\frac{1}{x}}=e$
• ${\lim }_{x\to 0}\frac{\log (1+x)}{x}=1$
• ${\lim }_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$
• ${\lim }_{x\to 0}\frac{(1+x{)}^a-1}{x}=a(a\in \mathbb{R})$

Confronto fra infinitesimi e fra infiniti

• Una funzione che tende a zero è detta infinitesima (o “infinitesimo”)
• Una funzione che diverge è detta infinitamente grande (o “un infinito”) il confronto è uguale a quello per le successioni

Asintoti

Definizione

Un asintoto per $f$ è una retta $r$ tale che la distanza del generico punto del grafico di $f$ da $r$ tenda a zero.

TIP

La distanza che c’è tra la funzione e l’asintoto diventa sempre più piccola quando ci allontaniamo dall’origine (ovvero quando $x\to \pm \infty$), allora possiamo dire che la nostra distanza tende a $0$ (ovviamente questa cosa vale per ogni tipo di asintoto).

Inoltre una tra $x$ o $y$ deve tendere a $\pm \infty$ per avere un asintoto

Diversi tipi di asintoto

Abbiamo diversi tipi di asintoto:

• Asintoto verticale: Se la funzione $f$ diverge al tendere di $x$ a $c$ allora la retta di equazione $x=c$ è detta asintoto verticale per $f$. Infatti dato $P(x,f(x))$ un generico punto del grafico si ha: $d(P,r)=|x-c|$visto che $x\to c$ allora questa distanza tende a $0$. Inoltre visto che $x\to c$ allora deve essere vero che $y$ tende ad un’infinito ovvero che (almeno una):
  • ${\lim }_{x\to c^{+}}=\pm \infty$ asintoto verticale sinistro
  • ${\lim }_{x\to c^{-}}=\pm \infty$ asintoto verticale destro

EXAMPLE

• Asintoto orizzontale: Sia data una funzione $f:(a,+\infty [\to R$ e si supponga che ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=l\in R$ allora la retta $r$ di equazione $y=l$ è detta asintoto orizzontale destro per $f$. Infatti dato $P(x,f(x))$ un generico punto del grafico di $f$ si ha: $d(P,r)=|f(x)-l|$per il limite scritto prima $f(x)$ tende ad $l$ quando $x\to +\infty$, quindi la distanza tra la diminuisce e tende a $0$ Se abbiamo che ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=l$ e ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=h$ allora abbiamo 2 asintoti orizzontali:
  • $y=l$ asintoto orizzontale destro
  • $y=h$ asintoto orizzontale sinistro

EXAMPLE

• Asintoto obliquo: Sia data una funzione $f:(a,+\infty [\to R$ e si supponga che ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=\infty$ se $f$ ha un asintoto obliquo allora i due infiniti $f$ e $x$ devono avere lo stesso ordine di grandezza, in altre parole il rapporto $\frac{f(x)}{x}$ deve ammettere un limite finito (ovvero $m$) al tendere di $x$ a $+\infty$. dunque se:
  • ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{x}=m\ne 0$
  • se ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)-mx=p\in R$ allora la retta $r$ di equazione $y=mx+p$ è asintoto obliquo destro per $f$ (in modo simmetrico si introduce quello sinistro). Infatti detto $P(x,f(x))$ il generico punto del grafico di $f$, si ha $d(P,r)=\frac{|mx-f(x)+p|}{\sqrt{1+m^2}}$ che tende a zero al tendere di $x$ a $+\infty$

EXAMPLE

Limiti delle funzioni monotone

CITE

Ricordiamo dal capitolo 1 che una funzione $f$ è detta monotona in un intervallo $(a,b)$ se in tale intervallo è crescente o decrescente (anche strettamente)

Teorema

Sia $f:(a,b)\to R$ una funzione strettamente crescente in $(a,b)$ allora possiamo dire che:

• per ogni $c\in ]a,b[$ esistono i limiti destro e sinistro di $f$ al tendere di $x$ a $c$ e si ha che $l^{-}={\lim }_{x\to c^{-}}f(x)={\sup }_{(a,c[}f(x)\le f(c)\le l^{+}={\lim }_{x\to c^{+}}f(x)={\inf }_{]c,b)}f(x)$
• esistono i limiti di $f$ al tendere di $x$ ad $a$ e a $b$ e si ha:
  • $l^{+}={\lim }_{x\to a}f(x)={\inf }_{]a,b)}f(x)$
  • $l^{-}={\lim }_{x\to b}f(x)={\inf }_{(a,b[}f(x)$ Osservazioni

1. Se $a,b$ appartengono all’insieme di definizione si ha:
   • $l^{+}\ge f(a)$
   • $l^{-}\le f(b)$
2. Se $f$ è decrescente, si ha $l^{-}={\lim }_{x\to c^{-}}f(x)={\inf }_{(a,c[}f(x)\ge f(c)\ge l^{+}={\lim }_{x\to c^{+}}f(x)={\sup }_{]c,b)}f(x)$

Funzioni continue

Definizione

Sia data una funzione $f:X\to R$ e sia $c$ un punto non isolato di $X$, si dice che $f$ è continua in $c$ se ${\lim }_{x\to c}f(x)=f(c)$. Si dice che $f$ è continua se è continua $\forall x\in X$
In altre parole La funzione f è continua in un punto c se, quando x si avvicina a c, i valori di f(x) si avvicinano a f(c)

Teorema di Weierstrass

Sia $f$ una funzione reale continua in un intervallo chiuso e limitato $[a,b]$, allora $f$ ammette minimo e massimo assoluti

Proprietà dei valori intermedi (PVI)

Si dice che una funzione $f:X\to R$ gode della proprietà dei valori intermedi (brevemente PVI) se: dati $\alpha ,\beta \in f(X)\text{ con }\alpha <\beta$ per ogni $\gamma \in ]\alpha ,\beta [$ esiste $x\in X$ tale che $f(x)=\gamma$, in altre parole se la funzione assume due valori allora questa assume anche i valori fra essi compresi.

Teorema di esistenza degli zeri

Teorema: sia $f$ una funzione reale continua in un intervallo chiuso e limitato $[a,b]$ e si supponga $f(a)<0$ e $f(b)>0$ (o viceversa). Allora esiste $c\in [a,b]$ tale che $f(c)=0$ Teorema non in matematichese: la continuità di $f$ implica che la funzione non può “saltare” da negativo a positivo senza passare per lo zero. Vogliamo trovare il punto dove $f$ si annulla. Dimostrazione: posto $x_0=\frac{a+b}{2}$

• se $f(x_0)=0$ la tesi è dimostrata
• se $f(x_0)<0$ poniamo $[a_1,b_1]=[x_0,b]$
• se $f(x_0)>0$ poniamo $[a_1,b_1]=[a,x_0]$ in entrambi i casi si ha che:
• $f(a_1)<0$
• $f(b_1)>0$
• $a\le a_1<b_1\le b$
• $b_1-a_1=\frac{b-a}{2}$ Procedo analogamente a partire dall’intervallo $[a_1,b_1]$ e reiterando lo stesso ragionamento, se per un certo $n$ si trova $f(x)=0$ la tesi è dimostrata, in caso contrario si determinano due successioni $\{a_n\}$ e $\{b_n\}$ tali che per ogni $n\in N$ si ha che
• $f(a_n)<0$
• $f(b_n)>0$
• $a\le a_1\le \cdots \le a_n<b_n\le b_{n-1}\le \cdots \le b$
• $b_n-a_n=\frac{b-a}{2^n}$ La successione $\{a_n\}$ è crescente e limitata superiormente (da b) quindi converge al proprio estremo superiore $c\le b$. inoltre possiamo dire che $b_n=b_n-a_n+a_n=\frac{b-a}{2^n}+a_n\to c$ Si ha allora per la continuità di $f$: $f(a_n)\to f(c)\text{ e }f(b_n)\to f(c)$Poiché:
• da $f(a_n)<0$ si ha $f(c)\le 0$
• da $f(b_n)>0$ segue $f(c)\ge 0$ quindi segue necessariamente che $f(c)=0$

Teorema di esistenza dei valori intermedi (teorema di Darboux)

Teorema: Sia $f$ una funzione reale continua in un intervallo chiuso e limitato $[a,b]$ e si supponga che $f(a)\ne f(b)$ ad esempio $f(a)<f(b)$. Allora per ogni $\gamma \in ]f(a),f(b)[$ esiste $c\in [a,b]$ tale che $f(c)=\gamma$ Dimostrazione: Consideriamo in $[a,b]$ la funzione $g(x)=f(x)-\gamma$ che è continua e agli estremi dell’intervallo assume valori di segno diverso, quindi per il teorema di esistenza degli zeri, si annulla in un punto $c$: si ha dunque $f(c)-\gamma =0$ e quindi che $f(c)=\gamma$ Osservazioni:

1. Se l’intervallo non è chiuso e limitato la tesi vale egualmente: basta applicare il teorema ad una restrizione (ad un sotto intervallo)
2. Se $f$ non è definita in un intervallo il teorema non vale: basti pensare ad esempio ad una funzione definita nell’unione di due intervalli disgiunti, costante in ciascuno di essi, con valori diversi delle costanti
3. Il viceversa del teorema non vale: la funzione definita in $[0,1]$ ponendo $f(x)=x$ in $]0,1[$ $f(0)=1,f(1)=0$ verifica la PVI ma non è continua
4. Il teorema di esistenza degli zeri è un caso particolare del teorema di Darboux

Teorema di continuità delle funzioni monotone

Teorema: Sia $f:(a,b)\to R$ una funzione strettamente monotona e sia verificata la PVI allora $f$ è continua Dimostrazione: Supponiamo che $f$ sia crescente e proviamo la continuità in un punto $c$ interno ad $(a,b)$. Dal teorema sui limiti delle funzioni monotone segue che $l^{-}\le f(x)\le l^{+}$ per provare la continuità basta provare che $l^{-}=f(x)=l^{+}$. Supponiamo per assurdo che non sia vero, ad esempio si abbia $l^{-}<f(c)$. Sia $\gamma \in ]l^{-},f(c)[$ per la PVI esiste $\overline{x}\in (a,b)$ tale che $f(\overline{x})=\gamma$. L’assurdo segue dal fatto che $\overline{x}$ non può esistere, infatti:

• se $\overline{x}=c$ si avrebbe $\gamma =f(\overline{x})=f(c)$
• se $\overline{x}<c$ si avrebbe $\gamma =f(\overline{x})\le l^{-}$
• se $\overline{x}>c$ si avrebbe $\gamma =f(\overline{x})>f(c)$ L’assurdo è dunque trovato.

Conseguenze di questi teoremi

1. Immagine di un intervallo mediante una funzione continua: Sia $f:[a,b]\to R$ una funzione continua, dal teorema di Darboux segue che la sua immagine è un intervallo, e dal teorema di Weierstrass segue che $f$ possiede minimo $m$ e massimo $M$ quindi la sua immagine è l’intervallo chiuso e limitato $[m,M]$
   1. Se $f$ è crescente la sua immagine è l’intervallo $[f(a),f(b)]$
   2. Se $f$ è decrescente la sua immagine è l’intervallo $[f(b),f(a)]$ In generale, se $f$ è una funzione continua in un intervallo generico $(a,b)$ la sua immagine è l’intervallo $({\inf }_{(a,b)}f(x),su{p}_{(a,b)}f(x)$
2. Continuità della funzione inversa: sia $f:[a,b]\to [f(a),f(b)]$ una funzione strettamente crescente e continua (può essere anche decrescente). Allora la sua inversa è continua.
3. Continuità delle funzioni elementari: tutte le funzioni elementari che abbiamo introdotto sono continue nei rispettivi insiemi di definizione. Sia infatti $c$ un punto dell’insieme di definizione di $f$. Se $c$ è contenuto in un intervallo in cui $f$ è monotona, la continuità in $c$ segue dal teorema di continuità delle funzioni monotone, in caso contrario il limite destro e sinistro coincidono

Punti di discontinuità

Data una funzione $f:X\to R$, un punto $c\in D(x)$(insieme dei punti di accumulazione) è detto punto di discontinuità per $f$ in uno dei seguenti casi:

• se $f$ non è definita in $c$
  • $f(x)=\log x,c=0$
• se $f$ non è dotata di limite al tendere di $x$ a $c$
  • $f(x)=\frac{|x|}{x},c=0$
• se ${\lim }_{x\to c}f(x)\ne f(c)$
  • $f(x)=x$ per $x\ne 0,f(0)=5,c=0$
    Dato $c$ punto di discontinuità possiamo dire che:
• $c$ è eliminabile se $li{m}_{x\to c}f(x)=l$ esiste ed è finito. In tal caso, definendo $g(x)=\{\begin{array}{ll}f(x)& \text{se }x\ne c,\\ l& \text{se }x=c,\end{array}$otteniamo una funzione continua in $c$.
• $c$ è di prima specie se i limiti:
  • $l^{-}=li{m}_{x\to c^{-}}f(x)$
  • $l^{+}=li{m}_{x\to c^{+}}f(x)$ esistono entrambi finiti ma sono distinti in tal caso il numero $|l^{-}-l^{+}|$ è detto salto di $f$ in corrispondenza di $c$
• $c$ è un punto di infinito se $f$ diverge al tendere di $x$ a $c$, se $c$ è un punto di infinito per $f$ allora c’è un asintoto verticale di equazione $x=c$